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수학적 개념들(mathematical concepts)

2014.08.07 22:53

나공 點閱:1160

1. 


따라서, 나는 구성론적 개념-분석 방법을 약술하고, 그 방법을 <산술과 수학> 발달에 기초를 이루고 있는 세 개의 개념, 단위, 여럿, 그리고 수에 적용할 것이다. 내가 제시할 것은, 가설적 모델로, 제기된 아이템들을 내어올 가능한 일련의 개념적 단계들이다. 물론, 이들 셋 말고도 수학에는 훨씬 많은 개념들이 있지만, 초등 산술 개념들의 기초에 세워진 추상의 다층탑을 다룰려는 수학자한테는 필요한 것들일 것이다. 내 목적은, 아주 제한된 것으로, 이들 세 개의 기본 개념들은 신이 준 선물 또는 인간 경험 너머 어떤 것에서 기원한 것들로 보이기보다는 구성물로 보일 수 있음을 보여주는 것이다.


    나의 출발 전제(當然視)는, 개념은 여하튼 인간에 의해 구상되어야만 하는 것이라는 점이다.


고로, 자연의 형식들 가운데, 우리가 그것들을 이해하고 있는 바와 같이, 양(量)은 물질(素材)에서 분리 가능한 최고로 추상된 것이다. 이것은 정말 참이다. Francis Bacon (1623)


2.

    분명, 분리하기와 통일시키기는 결정적 활동들이다. 개별적(離散的) 단일 아이템들을 창조하는 조작과, 그와 같은 여러 개별 아이템들을 취해 그것들을 통일시켜 그것들을 재차 하나의 단위로 보이게끔 하는 조작은, 틀림없이 있는 것들이다. 고로, 첫 번째 질문은, <우리는 단위, 단일 아이템을 어떻게 갖게 되는가?>가 된다.


        지각이기보다는 구상

이러한 질문을 물리학자 퍼시 브리지먼이 정식화한 것은, <우리가 세고 있는 것은 무엇인가?> 하고 물었을 때다. 그는 구성론자로서 이에 답했다:  

분명 그것은 공통된(常識的) 경험 대상들과는 같은 것이 아니다 – 우리가 세고 있는 것은 우리가 그것을 세기 전에는 거기 없었지만, 우리는 계속함으로써 그것을 창조한다. 우리가 세는 일이 바로 창조다. (Bridgman, 1961, p.103)

    단위들은, 그렇다면, 지각하기 주체가 이행을 완료한 조작 결과이지 대상들에 고유한 속성이 아니다. 이것이 터무니없게 들릴 수 있는 까닭은, 습관적이며 대체로 자동화된 성인의 지각하기 방식이 특정 아이템의 하나로서-상태(單一性)는 주어진 것이라는 인상(印象)을 창조하기 때문이다: 이는 그 아이템이 경험적 후경(背景)에서 구별 가능하기 때문이다. 실상, 유아가 시각장에서 쉽게 격리해내는 아이템들에서 최초로 물(物)다움과** 같은 어떤 생각을 얻어낸다는 것은 정말 있을 법한 일이다. 하지만, 구별하기와 격리하기는 능동적 주체가 이행해야 하는 활동들로서, 그 결과들은 그 주체 자신의 구별 척도(基準)들에 의존한다. 

** 표현  'thinghood(物性)'은, 경험 장에서 특정 아이템의 단위로서 분리를 지시할 작정으로 쓴 것이다 — 이는 시각(vision)과 미술(art) 분야들에서 그러한 것처럼, 형상(前景)이 배경(後景)에서 분리되는 것과 같다. 이를 대상 영속 개념과 혼동해서는 안 된다 — 대상 영속은 외재화와 재연(再演)을 모두 수반하는 훨씬 더 복잡한 구조지만, 물다움은 그 어떤 것도 필요로 하지 않는다.

    후설은, 내가 (1장에서) 언급한 바대로, 단위 개념은 감각운동 대상들에서 추상된 것이라고 분명히 말했다. 이러한 생각에 대한 현저한 확증은 알베르트 아인슈타인한테서 온 것이다:

‘실재하는 외부 세상’을 차려내려면, 최초 단계는 다양한 종류의 물적 대상들과 그에 대한 개념들을 형성하는 것이라고 나는 믿고 있다. 무수한 우리의 감지 경험들에서, 우리는 심적으로 임의적으로, 일정 반복적으로 발생하는 감지 인상들의 (부분적으로는, 타자들의 감지 경험들에 대해 기호들로 해석된 감지 인상들과 결부된) 복합체들을 취하고, 그것들에 특정 개념 - 물적 대상 개념 - 을 상호의존적으로 관계시킨다. 논리적으로 고찰할 경우, 이러한 개념은 언급된 감지 인상들 전체와 동일하지 않다; 반대로, 그것은 인간 (혹은 동물) 마음의 자유로운 창조물이다. (Einstein, 1954, p.291)

3.

    추상적 개념들의 구조가 주의 패턴들로 해석될 수 있다는 아이디어(着想)은, 실비오 케카토(1966)가 최초로 제기했다. 다음 쪽들에서, 그 착상을 수 관련 개념들에 적용한 한 모델을 약술할 것이다. 주의는, 이 모델에서, 펄스(脈動) 비슷한 것으로, 유기체의 신경 시스템이 공급하는 대체로 연속적인 무수한 신호들 가운데, 더 진전된 과정을 위해, 일정 신호들을 집어내는 활동으로 구상된 것이다.**  말하자면, 하나의 펄스 또는 주의 순간(刹那)은 구체적 신호에 초점을, 맞출 필요는 없지만, 맞출 수 있다. 집중이 없을 때 구체적 신호들은 잡혀 나오지 않지만, 이는 잡혀 나올 신호들이 없었다는 뜻이 아니다. 집중-없는-순간 창조되는 것은 그저 합성 과정의 멈춤(休) 하나일 뿐이다. 주의는, 또한, 활동적 감각운동 신호들만이 아니라, 앞선 계기에서 집혀졌던 신호들(또는 그것들의 합성물)의 재연(再演)들로 펼쳐진 아이템들에도 집중할 수 있다.

** 개념들 구성에 있어 주의의 구성적 역할에 대한 케카토의 아이디어는 최근 바카리노(1977, 1981, 1988)와 아캐미(1994)가 다듬어 더욱 정교하게 만들었다.


4.

 
                            O  I  O 

    이것이 전적으로 추상적인 ‘것’의 표시(再現)인 까닭은, 주의의 중심 순간이 무엇에 집중하고 있는지 또는 그 무엇이 하나인지 여럿인지를 더 이상 문제 삼고 있지 않기 때문이다.
 
    나는, 이것이 유클리드가 ‘단위란 그것을 써서 실존하는 사물들 각각을 하나라고 부르는 바로 그것이다’ (Euclid, Book VII)라고 썼을 때 품었던 개념 패턴이라고 생각(推定)한다. 그 정의가 그리 도움이 안 되는 까닭은, 우리가 ‘그것을 써서’ 사물들을 ‘하나’라 부르는 바로 ‘그것’이 무엇인지를 말하지 않았기 때문이다. 주의 패턴은 바로 그것에 대한 가설적 모델 하나를 제공한다. 그 모델은 우리가 단위들을 구성하는 상황에 들어맞는 것으로 보인다.

5.

'추상적 개념 수'를 보라
http://www.cysys.pe.kr/zbxe/RRC/board_9/324378
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公告 언어 습득(language acquisition) 나공 2014.08.16 986
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公告 커뮤니케이션(communication) 나공 2014.08.16 831
公告 번역(translation) 나공 2014.08.16 1588
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公告 형이상학(metaphysics) 나공 2014.08.14 942
公告 경험(experience) 나공 2014.08.14 928
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公告 사이버네틱스(Cybernetics) 나공 2014.08.12 1130
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182 방향-잡는 기능(Orienting Function) 나공 2014.08.10 324
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156 개념들의 구성(The Construction of Concepts) 나공 2014.08.10 348
155 가르치기 실험들(Teaching Experiments) 나공 2014.08.11 349
154 커뮤니케이션 이론(Theory of Communication) 나공 2014.08.16 349
153 동등(equivalence) 나공 2014.08.09 350
152 여럿의 발생(The Genesis of Plurality) 나공 2014.08.10 350
151 지도 판독(map reading) 나공 2014.08.07 351
150 개념적 의미론(conceptual semantics) 나공 2014.08.12 352
149 언어 분석의 토대(The Foundation of Language Analysis) 나공 2014.08.10 353
148 타자들을 통한 확증(Corroboration by Others) 나공 2014.08.12 354
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146 확실성(certainty, mathematical) 나공 2014.08.10 355
145 일반화(generalization) 나공 2014.08.08 356
144 반사들(reflexes) 나공 2014.08.08 358
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2014.06.19

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