추상적 개념, 수

페아노가 표명했던 것처럼, 유클리드의 정의, ‘수란 단위들이 복합된 다중(multitude)이다’(Euclid, Book VII)로는 불충분하다. 우리는 이제 그 이유를 볼 수 있다. 여럿 역시 ‘단위들이 복합된 다중(多重)’이지만, 수 개념을 수반하고 있지는 않다. 실상, 유클리드의 정의는 떼(衆), 숲(林), 위원회(會), 그리고 우표 수집(集)에도 역시 들어맞을 것이다. 고로, 핵심 구성 인자를 놓치고 있음에 틀림없다.

    내 모델에서, 여럿을 수(數)로 간주될 수 있는 일종의 복합 단위로 변형하기 위해서는 조작 2개가 더 필요하다. 하나는 내가 ‘개념적 반복’이라 부르는 것이며, 다른 하나는 ‘세기’ 활동이다.

 

    그것들은 빈번히 함께 이행된다. 보기에 시시한 단순 실습으로 그것들이 무엇인지 보는데 도움이 될 것이다. 당신이 지금 읽는 단락 다음 단락은 몇 줄인가 하고 질문을 받았다 하자. 당신은 당신의 시선을 지시된 단락으로 움직인다. 선행 지식으로, 또는 당신 시선 이동으로, 그 단락은 경계-지어진 여럿 줄로 범주화된다. 이러한 여럿을 경계-지어진 것으로 감안한 까닭은, 단어 ‘단락’이 경계를 함축하고 있기에, 또는 들여 쓴 첫머리로 경계를 알아볼 수 있기 때문이다. 이어, 시선을 줄 위아래로 움직이며 ‘하나’로 시작되는 인습적 수 단어 배열을 각각 하나씩 정렬시킨다. 그 단락 마지막 줄에 다다랐을 때 사용된 마지막 수 단어는, 추가 조작 2개를 당신이 몇 번이나 반복해서 합성했는지 당신한테 말해줄 것이다 – 그 수 단어는 줄들의 수(數)를 가리킬 것이다. 

    이러한 절차의 불가결한 특징들 가운데 상당수는 앞서 논했다. 그 여럿의 단일 아이템들은 각각 서로 구별되어야만 하지만, 일정 측면에서는 반드시 같은 것으로 간주되어야 한다. 그 여럿은 경계-지어져야만 한다; 그렇지 않다면, 세어질 수 없을 것이다. 수 단어 시퀀스(順序)는 반드시 알려져 있어야 하며, 엄격히 고수되어야만 하고, 그리고 ‘하나(一)’로 시작해야만 한다. 수 단어 요소들과 세어지는 아이템들의 정렬은 엄격하게 일–대–일이어야만 한다. 이 모든 것들은 수없이 말해진 것들임에도 반복할 가치가 있는 것은, 세기에 대한 모든 묘사, 기술들이 너무도 자주 하나 또는 그 이상의 측면들을 무시하고 있기 때문이다.

    추가로, 주의 모델에는 결정적 특징이 있다. 세어지는 줄들을 가로질러 위로 혹은 아래로 스캔하고 있을 때, 그 줄들을 단일 아이템들로 앞서 알아보았기에, 당신은 그것들을 지각 수준에서 그와 같은 것으로 재구성할 필요가 없었다. 대신, 당신은 그저 <인쇄된 줄들의 검정 상태 혹은 다른 어떤 속성>과 <시퀀스(順序), 줄-간격-줄 . . .>에만 집중했을 뿐이다. 그 간격들은, 인쇄만 되지 않았다면, 어떤 종류라도 무관할 것이다. 그 간격들은 그저 줄들에 집중된-주의-순간들과 관계해서 분산된-주의-순간들을 위한 계기만을 공급했을 뿐이다. 이것이 바로 내가 ‘주의 반복하기’에 대해 언급하는 까닭이다.

 

    추상적 개념 수(數)로 간주되는 것은 그러한 세기 절차에서 추상된 주의 패턴이다. 이러한 패턴에서, 주의의-집중된-순간들이 실제로 집중한 것이 어떤 것이든 상관없다. 그 패턴의 현저한 특징들은 다음과 같다: (1) 일정 단일 아이템들에 주의-집중된-순간들과 주의-분산된-순간들의 반복; (2) 그 반복된 시퀀스 자체(全部)는 주의의-분산된-순간들로 경계-지어진다; 그리고 (3) 집중된 순간들은 수 단어들과 함께 정렬된다. 그 패턴은 아래 다이어그램으로 그려질 수 있다:

              O  ( O  I  O  I  O  I   …  O  I  O )  O

                      ‘1’    ‘2’   ‘3’   …   ‘n’ 

    페아노에 따르면, 당신이 상기할 수도 있을, 개별 아이템들은 개별적 특징들로 특징지어져야 한다. 이 다이어그램에서, 각각의 개별 수의 특징은 ‘n’의 값으로 제공된다. 그가 말하길, 류(類)는 그것의 요소들의 공통 특징으로 특징지어진다. 모든 개별 수들을 포괄하는 일반적 개념은, 고로, 개별 수들의 주의 패턴에서 한층 더 진전된 추상이다. 그 조작은, 추상적 단위 생성에서 <집중된 주의 펄스들>의 융합(融合)과 유사하다. 내 표기법에서 그것은 다음과 같을 것이다: 

                       O  (O  I  O)  O

    중앙의 ‘I’가 가리키는 것은, 세는 행위에서 최종 수로 간주되는 그 어떤 개별 수에도 집중될 수 있는 주의 순간일 것이다. 이로써, 하나(一)가 ‘단위들의 다중(多重)’으로가 아닌 그저 ‘단 하나’로 이루어진 것임에도 불구하고, 우리가 그 ‘하나’를 수로 간주하는 것에 여하한 곤란도 없는 이유가 설명될 수 있다. 그리고, 가장 중요한 점, 이러한 단일 추상 개념으로서 수(數)에서는 모든 감각 소재가 완전히 탈락되었다.