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        종잡기 힘든 정의

따라서, 나는 구성론적 개념-분석 방법을 약술하고, 그 방법을 <산술과 수학> 발달에 기초를 이루고 있는 세 개의 개념, 단위, 여럿, 그리고 수에 적용할 것이다. 내가 제시할 것은, 가설적 모델로, 제기된 아이템들을 내어올 가능한 일련의 개념적 단계들이다. 물론, 이들 셋 말고도 수학에는 훨씬 많은 개념들이 있지만, 초등 산술 개념들의 기초에 세워진 추상의 다층탑을 다룰려는 수학자한테는 필요한 것들일 것이다. 내 목적은, 아주 제한된 것으로, 이들 세 개의 기본 개념들은 신이 준 선물 또는 인간 경험 너머 어떤 것에서 기원한 것들로 보이기보다는 구성물로 보일 수 있음을 보여주는 것이다.

    나의 출발 전제(當然視)는, 개념은 여하튼 인간에 의해 구상되어야만 하는 것이라는 점이다.

고로, 자연의 형식들 가운데, 우리가 그것들을 이해하고 있는 바와 같이, 양(量)은 물질(素材)에서 분리 가능한 최고로 추상된 것이다. 이것은 정말 참이다. Francis Bacon (1623)

    추상된 것들은 인지하기 주체가 이행을 완료한 추상하기 활동의 결과다. 이것들이 외부 공간에 독자적으로 실존한다고 믿고 싶다 할지라도, 그것들을 포착하여 알기 위해서는 특정 조작하기 방식들이 필요할 것이다. 구성론적 모델이 보여주어야 하는 것은, 베이컨이 자신의 ‘자연의 형식들’에 포함시켜야 했던, 단위, 여럿 그리고 수 개념들을, 객관적 실재에 이미 만들어져 실존하는 것들로 당연시 하지 않고도, 창조하는 과정이다. 이는 그것들의 구성에 지각 과정이 수반되지 않는다는 뜻이 아니라, 단지, 그 절차가 수동적이기보다는 반드시 구성적이어야 한다는 의미다. 

    최근, 철학자 토마스 티모츠코는, ‘수학은 물리학보다는 지리학에 훨씬 더 가깝다’(1994, p.334)고 주장했다. 이것을 적절한 비교라 생각한 것은, 나로서는 개념적 의미론을 지리학자의 지형도를 대신하는 것으로 쉬이 사용할 수 있기 때문이다. 

    고로, 나는 두 가지를 할 것이다. 개념들이 구조화될 수 있는 방식에 대한 분석을 제공(提供)하는 것이 하나고, 그것들의 구성이 지각 요소들에서 출발해 일련의 반성적 추상들로 성취되고 있음을 제시(提示)하는 것이 또 하나다. 나는 이러한 노력의 결과가 결코 가설적 모델 이상일 수 없음을 강조한다. 그것을 그 어떤 실재에 대한 묘사, 기술이라 사칭하지 않는다. 기껏해야, 그 모델은 행해졌거나 행해질 수 있는 관찰들과 양립할 수 있는 것으로 판명될 수 있을 뿐이다. 그 모델은, 그럴 수 있다면, 교수-방법들 발달의 길잡이로 쓰일 것이기에, 아마 유용한 모델이 될 것이다.

    산술이 구축(構築)될 기초 개념들을 아이가 형성하는 방식을 탐구하기 위해서는, 이들 개념들이 성인한테는 무엇일까에 대한 상당히 명쾌한 모델 하나를 갖는 것이 필수불가결하다. 수학 교과서들에 이와 관련된 해명은 거의 없으며 수학 철학자들이 체면을 구기며 그들 구성들의 개념적 원자재(raw-material)에 대해 말하는 일은 좀체 없다. 이태리 수학자 주세페 페아노[1858–1932:집합론 발전에 크게 기여했으며, 자연수 체계에 대한 그가 제안한 공리들을 ‘페아노 공리계’라 부른다. 그동안 이 공리들은 거의 변형되지 않은 형태로 수론의 일관성 및 완전성 연구에 사용되었다]만은 예외였다. 그가 원자재를 밝히지는 않았지만, 그가 왜 그것을 불필요한 것으로 간주했는가에 대한 적어도 하나의 이유는 주었다.

자체로 생겨나며 그밖에 모든 수들이 형성되는 최초 수들은, 양의 정수들이다. 최초 질문: 우리는 하나[unity: 단일화된, 그래서, 단위 또는 하나로서 상태], 수(數), 그리고 두 수의 합(合)을 정의할 수 있는가? 수에 대한 통상적 정의, ‘수는 여러 단위들의 전부(總體)다’라는 유클리드의 정의는, 분류로 기능할 수는 있지만 정의로는 만족스럽지 않다. 실상, 두세 살 먹은 아이는 단어들 ‘하나’, ‘둘’, ‘셋’, 등등을 사용한다; 그 이후에 그 아이는 단어 ‘수’를 사용한다; 훨씬 나중에서야 가까스로 단어 ‘전부(總)’가 그 아이 어휘들 가운데 나타난다 … 따라서 실용적 관점에서 그 질문은 나한테 해결된 것으로 보인다: 말인즉, 교수(敎授) 도중 수에 대한 정의를 부여하는 것은 권장할 일이 아니다; 왜냐하면, 그 관념이 학생들한테 완전히 선명해지기까지는 그 어떤 정의도 단지 그 관념을 헝클어뜨리는 효과만을 지닐 것이기 때문이다. (Peano, 1891a, pp.90–1)

    그는 이어 이론적 외관들을 논하고, 수는 정의될 수 없다고 결론짓는다 (ibid., p.91). 

    수리 논리의 원리들에 관한 그의 에세이 첫머리에서, 그는 그러한 문제들 가운데 하나를 정확히 지적했다. 1, 2, 3/4, √2 같은 기호들은, 그의 설명으로, 실제 고유명사(固有名辭)들이지만, ‘수’, ‘다각형’, ‘등변’, 등등은 앞의 것들과는 달리 류(類)들을 지시하고 있기에 보통명사들이다 (Peano, 1891b, p.2). 이러한 진술이 흥미로운 것은 다음 어려움을 명백히 드러내 주기 때문이다: 개별 아이템들은 개별 특징들로, 류들은 공통 특징들로 자신들의 특징을 부여받아야 한다.

    이어지는 질문은 다음과 같다: ‘하나’, ‘둘’, ‘셋’의 경우 개별 특징들은 무엇이며, ‘수’의 경우 공통 특징은 무엇인가?

    ‘ … 은(는) 무엇인가?’라는 종류의 질문은 보통 한 가지 이상의 방식으로 답해질 수 있다. ‘수’의 경우, ‘하나, 둘, 열다섯, 서른여덟은 수다’는 답도 있을 수 있다. 이는, 사과란 무엇인가? 하는 질문에, ‘청사과, 홍옥, 골든 딜리셔스’라는 답과 동등한 것이다. 이는 사과에 대한 경험이 많지 않은 아이한테는 그다지 도움이 안 될 것이다. 

    구두(口頭) 답변 대신, 구색(具色)을 다 갖춘 식료품 창고에서 청사과, 홍옥, 골든 딜리셔스를 종류별로 갖다가 ‘이것들은 다 사과야!’라고 말할 수도 있다. 이는 철학자들이 ‘외연적’ 정의라 칭하는 것의 일부일 것이다. 이어, 그 아이가 그것들이 왜 사과라고 불리는지 묻는 경우, 그것들은 고만고만한 크기와 무게를 갖는 비교적 둥글고 반들반들한 대상들로, 껍질, 속, 그리고 씨가 든 속심, 아울러 배워 알아볼 수 있는 냄새와 맛을 갖고 있다고 지적할 수 있을 것이다. 달리 말해, 외연적 정의의 일부를 사용하는 것은, 대체로, 그 개념을 만들어 가는 특징들 몇몇을 명시하는 것에 도움이 될 수 있고, 그렇게 해서 ‘내포적’ 정의는 만들어질 수 있다.

    그 질문이 수에 적용될 때는 직접적 곤란들이 있다. 그 아이가 ‘하나, 둘, 열다섯은 왜 수인가’ 하고 묻는 경우, 우리는 탁자 위에 유리컵 하나, 스푼 둘, 이쑤시게 열다섯을 올려놓는 것으로 시작할 수도 있겠지만, 우리는 이내 이것이 작동할 성 싶지 않다는 걸 깨달을 것이다. 우리는 이때 영감을 하나 얻을 수도 있다: 우리는 모든 것들을 옆으로 밀치고서 이쑤시게(대체로, 장난감 블록)을 하나, 둘, 그리고 열다섯의 각각의 묶음들로 배열한다. 우리는, 이제, ‘우리가 수들을 보여주고 있음’이 분명하다고 생각한다. 그러나 이쯤 되면 그 아이는 아마 다른 놀이를 하고 싶어 할 것이다. 이것이 다행(多幸)인 까닭은, 그 아이가 만약 질문을 한 발만 더 진전시켰다면, 수 개념을 형성하기 위해 어떤 특징들을 추상해야 하는지에 대한 설명 방식이 우리한테 없다는 사실로 당혹스러웠을 것이다. 각 더미들의 이쑤시게를 세자는 제안 말고는 다른 방도는 없을 것이다 – 하지만, 이것이 질문 회피하기[선결문제 요구의 오류: 논증에서, 논점을 (미리 진실로) 가정하거나, 증명을 요하는 사항을 전제 속에 채용하는 오류로, 논증의 전제 속에 결론과 같은 뜻의 말을 쓰고 있는 것을 말한다]인 까닭은, 단어들 ‘하나(一)’, ‘둘(二)’, ‘셋(三)’, 등등을 쓰지 않고는 셀 수가 없기 때문이다.

    수 체계와 수학의 논리적 기초를 형식화하려는 노력에 연루되었던 페아노와 그밖에 사람들은, 그 체계의 속성과 관계들을 정의하는 데에 열중했다. 그들은 우리가 단위, 여럿, 그리고 수 개념들을 갖고 있는 것을 당연시했다. 이들 개념들을 경험적으로 생성시키려면 무엇이 행해져야 하는지는 그들한테 문제로 생각되지 않았다. 한 예리한 사상가가 아래 ‘정의’로 제출한 것을 달리 어찌 설명할 수 있었을까:

수란, 어떤 류(類)의 수인 어떤 것이다. (Russel, 1956, p.534)

    이것이 고약하게도(惡) 순환적인 것은, 이 정의를 이해하려면 정의되고 있는 용어를 알아야 할 것이기 때문이다. 
 
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