개념적 분석

1. 벤담과 비코 - 개념 분석의 개척자들

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2. 개념들의 구성

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3.

결론으로, 개념 분석은 개념 구조들에 속(依存)한다는 것을 재차 강조하고 싶다. 말하자면, 이것은 지식에 속하는 것이지 알기 주체와 독립된 것으로 전제(當然視)된 그 어떤 실재에도 속하지 않는다는 점이다. ‘변화와 상태’, ‘공간과 시간’, 그리고 우리가 주목하지 않는 동안에도 지탱하며 ‘실존’할 수 있는 사물(‘事’&‘物’)들이 거하는 ‘세계(世界)’ 개념들, 이 모든 것들은 인지 주체가 경험 흐름을 조직하고 다루기 위해 사용하는 도구들이다. 이것들은 전통 철학자들이 꿈꾸는 존재론적 실재를 반영할 수 없다. RC는 이러한 꿈에 대해 언급하지 않는다; RC의 목적은, 독립된 세상-자체(世上-自體)를 전제하지 않고도, 상대적으로 안정된 ‘경험적-실재(現實)’가 구축될 수 있음을 보이는 것이다.

 

변화

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형식과 내용

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개체 동일성

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심적 조작

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운동

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시간과 공간

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수학(mathematics)

1.

이러한 공동작업을 생각(回顧)할 때마다, 나는 노벨상 수상자 피터 메드워 경이 과학자를 ‘사실과 계산들에 관해 정연하며, 직설적인, 선명하게 생각하는 사람’으로 보는 대중적 이미지를 부셔버렸던 걸 기억한다. 그는, 그 반대로, 썼다:

과학자들은, 진리 추정에 한 다발의 탐구 전략을 구사하며, 아울러 자주 ‘직업주의’로 묘사되는, 일에 착수하는, 나름대로 우수한 자신들의 방식 또한 갖고 있다 – 이러한 일을 진척시키는 능력을 포함한 수완은, 성공에 대한 자신감, 그리고 이와 함께, 쉘리가 시인의 상상력과 동류로 믿었던 진리란 무엇일까 하고 상상하는 능력으로 부추겨졌다. (Medwar, 1984, pp.17–18)

 

단어 ‘진리’ 대신 ‘바이어블한 설명’으로 바꿔보라, 그러면 내가 가진 스테페의 완벽한 초상을 얻을 것이다. 첨예한 논쟁을 셀 수 없이 진행하며 여러 해를 보냈으며, 둘한테 모두 수용 가능한 생각을 정식화하고자 우리는 때론 여러 날을 싸우며 차츰차츰 서로 타자의 생각하기를 확장시키고 정교화 했다. 그 전투에는 또한 훈련된 철학자 존 리차드가 오래토록 참여했으며; 그리고 스테페 대학원 학생들이었던 폴 콥과 패트릭 톰슨은, 아이들이 수 개념과 기초 산술 조작(演算)을 획득하기 위해 그들 방식으로 밟아가고 있을 수 있는 바에 대한 그럴듯한 모델을 벼리는 것을 거드는 토론으로, 여러 달을 완전히 녹초가 되어 지냈다 (Steffe et al., Steffe, Richards and Glasersfeld, 1978; Steffe, Thom- pson and Richards, 1982; Steffe, Glasersfeld, Richard, and Cobb, 1983).

교육 분야 연구에 관해 아는 게 없고 수학을 몇 학기 공부했던 것에서 기억나는 것이 거의 없었음에도, 항상 마음 한편에, 개념 분석은 머지않아 수학 개념을 다루어야 할 것이라는 생각이 있었다. 수와 기하학 형상을 창조주, 신이 부여한 거로 생각하는 것은, 구성론자한테는 명백히 불가능하다. 경험 너머 신비한 영역에서 결정(結晶)들로 떠다니는 순수 형상들에 대한 플라톤의 시각(見解) 또한 용납할 수 없을 것이다. 그것들의 창조 기원은 경험 영역에서 추상된 ‘것(entity)’들로 탐구되어야 할 것이다.

유클리드에서 우리 시대에 이르기까지 수학자들은 자신들의 기초 개념 형성에 관해서는 도가 지나칠 정도로 어물쩍 넘어간다.그들은 수(數)를 그들 추상적 빌딩의 원자재로, 벽돌공이 벽돌을 다룰 때처럼, 당연한 것으로 여긴다. 그들이 어떻게 그들 기초 개념에 도달했는지는 오로지 자신들만 볼 수 있었을 뿐, 그들 역량이 갖추어진 이후, 그들한테 그 질문은 분명 하찮은 것이었다.

내가 읽은 철학자들 가운데 몇몇은, 수란 ‘마음의 것’이라고 매우 분명히 말했지만 (9장을 보라), 이러한 심적인 ‘것’을 어떻게 만들어낼 수 있는 지 설명하지 않았기에, 전혀 도움이 되지 못했다. 내가 찾은 유일한 예외는, 현상학의 창시자 에드문트 후설로, 다음과 같은 주장이었다: 지각장(知覺場)에서 <이산적(離散的) 단위들로서 대상들> 형성 조작은, 본래(本來), 개념 ‘하나’의 기초를 형성하는 같음이며, 뒤이은 추상 수준에서 그러한 조작은 그와 같은 ‘하나들’로 이루어진 여하한 덩어리도 우리가 ‘수’라 부르는 이산적 단위체가 되도록 한다(Husserl, 1887, pp.157–68). 이러한 생각은 정말 많은 도움이 됐으며, 반성적 추상에 대한 삐아제 이론에 잘 들어맞았다. 이 생각을 구체화하기 위해 필요했던 것은, 그러한 추상들이 만들어지고 있을 것 같은 경험 영역이었다. 아이들 관찰하기가 그 답이었다.

 

2.

연구소 작업으로 곧이어 나한테 분명해진 건, 물리학 가르치기는 초등학생들 산술 가르치기와는 전혀 다르다는 점이었다. 두 영역의 기본 개념은 모두 추상적 구성물이지만 씀씀이는 현저히 다르다. 수학에서, 개념들은 수학자 자신이 승인한 규칙에 적법하면 어떤 방식으로든 결합되고 관계될 수 있으며; 그와 같이 복합물에서 얻어진 새로운 추상은 새로운 조작 수준을 산출할 수 있다. 결과된 추상적 구조들 가운데 세상 문제에 응용되는 게 발견되는 경우, 그 구조 고안자한테 기쁨은 주겠지만 이것이 수학이 추구하는 바는 아니다. 반면, 물리학에서는, 추상 과정이 이중으로 제한된다. 물리학에서 추상 과정은 반드시 논리에 부합되고 개념적으로 일관되어야 할 뿐 아니라, 그 결과 역시 반드시 실험적 검사들을 견뎌내야 한다: 말인즉, 경험 상황들에 맞아들어야 한다. 요약하면, 수학은 자급자족적이며 그 목표는 자체 영역 안에 있다. 물리학은, 수학과 달리, 우리 경험 세계 조직화를 돕는 이론적 모델들을 제공해야 한다는 점에서, 도구로서 성분(成分)을 갖고 있다.

3.

추상적 수 개념들

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세기에 대한 주의 모델

http://www.cysys.pe.kr/zbxe/RRC/board_9/324503 주의 모델

http://www.cysys.pe.kr/zbxe/RRC/board_9/324504 펄스들의 반복

확실성

http://www.cysys.pe.kr/zbxe/RRC/board_9/324502

구상 대 지각

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여럿

http://www.cysys.pe.kr/zbxe/RRC/board_9/324510

상징들

http://www.cysys.pe.kr/zbxe/RRC/board_9/324430 상징들의 권능

http://www.cysys.pe.kr/zbxe/RRC/board_9/324353 조작적 알아차림

http://www.cysys.pe.kr/zbxe/RRC/board_9/324511 상징들의 '가리키기 권능'

사물과 단위들

http://www.cysys.pe.kr/zbxe/RRC/board_9/324509

개체 동일성 

http://www.cysys.pe.kr/zbxe/index.php?vid=RRC&mid=board_9&page=4&document_srl=324410